El apellido procede del pueblo "Los caños de borque", solo queda la ermita de San Millan y una torre en ruinas nace un manantial que se llaman "los caños de Borque". Este paraje pertenece a Velilla de los ajos.

Un visitante nos comenta:

Apellido español, parece que surge de la provincia española de Soria, en el término municipal de Velilla de los Ajos, en donde hay un paraje denominado Las Fuentes del Borque, en las que nace un arroyo llamado Arroyo del Borque.
En el mismo paraje hay restos de un poblado, con una pequeña ermita en ruinas, bajo la advocación de San Millan de Borque, y cerca de la ermita, estan las ruinas de un torreón defensivo.
Este apellido es corriente en las localidades proximas a Velilla de los Ajos (Soria) España.
Algún texto le atribuye un escudo:
En campo de azur, tres ondas de plata con delfin también de plata.

Hice una investigación y en el siglo VII el pueblo vasco ocupo el territorio de La Rioja y de Soria. En ese momento los Borque se asentaron en dicho territorio.
Investigando encontré también varias personas que tienen apellido Borque que viven en Euskadi y en Navarra lo cual reafirma que los Borque salieron de territorio vasco ya que algunos aun se encuentran allí.

El apellido Borque es de origen vasco.
Cuando el condado de Castilla pasa a formar parte del Reino de Pamplona, los Borque, se trasladan a la frontera del reino, mas precisamente a la zona de Soria.
Cuando el reino se divide, muchos Borque quedan en Soria y otros se trasladan a Vizcaya.
En la actualidad se encuentran en el territorio de Euskadi varias personas que llevan el apellido Borque.