Efectivamente, era de la Quadra,
en su origen, fue Iñigo Ordoñez de la Quadra, que tomó el de la Quadra del lugar donde estableció su casa, La Quadra, una torre, de un valle de Vizcaya, muy cerca de Bilbao. y de ahí en adelante todos los descendientes se apellidaron de la Quadra, por cuestión del idioma y tal se fue degenerando o ramificando a Cuadra, Cuadras, Cuadrado, Quadra, etc.
todo esto está suficientemente documentado, por lo que no hay ninguna duda, de su origen y descendencia.

Un visitante nos comentan:

Era De La Cuadra, hace unos años atras.
Es español.

Apellido vasco derivado del castillo De la Cuadra (Quadra) en el concejo de Güeñes (Somorostro). Según la leyenda, proviene este apellido de una antiquisima Torre situada en una barriada que llamaban la Cuadra, en el Consejo de Gueñes, en cuya torre pasó a vivir en el siglo XIII Iñigo Ordoñez de Zamudio, que se llamó por este motivo Iñigo Ordoñez de la Cuadra.

Armas:
Cuartelado, 1º de gules, tres fajas de oro, y bordura de plata con cuatro cruces de oro (en contra de las leyes heráldicas); 2º de plata, un roble de sinople y dos lobos pasantes de sable al pie del tronco, y bordura de oro con ocho aspas de azur; 3º de gules, una banda de oro engolada de dragantes de sinople; y 4º cuartelado, 1º y 4º de plata, un jabalí rampante de su color, y 2º y 3º de plata, tres estrellas de oro bien ordenadas.

Escudo partido, 1º de azur, tres barras de plata; y 2º de oro, una cruz flordelisada de gules. Bordura de plata con ocho aspas de gules.

En el primero tiene en Campo de Plata tres Bandas azules y en el Segundo, en Campo de Oro, una Cruz Flordelisada roja; todo con Orla de Plata con ocho Aspas rojas.

Origen del apellido Cuadra:

Vasco, del barrio de su nombre en el ayuntamiento de Musques, partido judicial de Valmaseda (Vizcaya). Una rama pasó a Chile.
Probó su nobleza repetidas veces en las distintas Órdenes Militares.

Escudo de Armas del Apellido Cuadra:
Cuartelado, 1º de gules, tres fajas de oro, y bordura de plata con cuatro cruces de oro (en contra de las leyes heráldicas); 2º de plata, un roble de sinople y dos lobos pasantes de sable al pie del tronco, y bordura de oro con ocho aspas de azur; 3º de gules, una banda de oro engolada de dragantes de sinople; y 4º cuartelado, 1º y 4º de plata, un jabalí rampante de su color, y 2º y 3º de plata, tres estrellas de oro bien ordenadas.
Los marqueses de Villerías traen: escudo partido, 1º de azur, tres barras de plata; y 2º de oro, una cruz flordelisada de gules. Bordura de plata con ocho aspas de gules.

creo es de origen español (andaluz) y se lee y pronuncia tal cual