El Apellido Ascuy con y el apellido Ascuí con í, los dos apellidos son vascos en eso no hay diferencia son unos dos apellidos que no cualquiera tiene porque no son comunes en ninguna parte, son unos apellidos europeos que su raíces vienen de Francia y el norte de España en el País Vasco, son mas... por decir conocidos en Francia pero solo en el sur cerca del País Vasco y de las regiones que están cercanas... pero aun así los apellidos no son muy conocidos, por eso no hay mucha información sobre ellos, por mi opinión el apellido Ascuy con y es el Vasco (Vasco) y el apellido Ascuí con i es el apellido Vasco Francés, La única información de estos Apellidos son Vascos Franceses y Vascos.
Espero haber ayudado.

atte Isabel Lefebvre.

Es Ascuí no es Ascuy, o quizas ese apellido es vasco, y el apellido Ascui con con i es vasco frances...